[데이터 분석 , 수학] 2. 기초 수학

2.1 기초 통계량

   - 평균 : 총 합/총 개수

   - 중앙값 : 데이터 크기 순으로 정렬했을 때 가운데 위치하는 값

   - 최빈값 : 데이터에서 가장 많이 나온 값

   - 최댓값/최솟값 : 가장 큰 값 / 가장 작은 값

   - 범위 : 최댓값과 최솟값의 차이 (항상 0보다 큰값)

 

2.2 분산과 표준편차

데이터가 평균을 기준으로 어느 정도 흐트러져 있는지를 알려줌 (클 수록 데이터가 평균으로부터 멀리 퍼져있다)

   - 표준오차 : 데이터와 평균과의 차이 

                   (데이터의 흐트러짐을 더 잘 표현하기 위해서는 표준오차에 제곱을 사용, 절대값 사용도 있음)

 

   - 분산(∝^2) : 표준오차/ 데이터의 개수

   - 표준편차(∝) : 표준오차에서 제곱해준걸 루트로 풀어준다. (분산값에서 루트 씌어줌)

                   분모가 n인지 n-1인지를 보고서 모집단(n)이지, 표본집단(n-1)인지 알수 있음

 

   1) 모집단과 표본집단

       - 모집단 : 집단 전체 데이터       ex) 한국 평균 연봉 - 한국 전체 회사원

       - 표본집단 : 전체 데이터에서 따로 추출된 데이터(부분집합)     ex) 한국 평균 연봉 - 100000명의 회사원

 

   2) 정규분포와 표준편차

정규분포곡선과 표준편차의 관계 첨부

       - 3시그마 규칙 : ±3∝ 밖에 데이터가 존재할 확률은 0.3%이다.

 

2.3 데이터 표준화

데이터를 비교하기 위해서는 기준이 같아야 한다.

데이터 표준화(z) = (각데이터 - 데이터의 평균)/표준편차(∝)

 

2.4 공분산과 상관계수

두 개의 데이터 간의 관계를 알아볼 수 있음

1) 공분산 : 두 개의 데이터가 비례인지? 반비례인지? 알 수 있음

            식

              S(xy) = (x값의 표준오차)(y값의 표준오차)/n-1

              -> (x값의 표준오차)(y값의 표준오차)가 양수 : 비례

              -> (x값의 표준오차)(y값의 표준오차)가 음수 : 반비례

       

2) 상관계수 : 두 개의 데이터가 어느 정도의 관계인지

           식

              R(xy) = S(xy)/(S(x)*S(y))  (-1<=R(xy)<=1)

                     = (x, y의 공분산)/ ((x의 공분산)*(y의 공분산))

              -> 상관관계가 양수면(양의 상관관계) : 비례

              -> 상관관계가 음수면(음의 상관관계) : 반비례

 

2.5 행렬

- 1차원 배열 : 벡터

- 2차원 배열 : 행렬

1) 행렬의 종류

     - 정방행렬 : 행과 열의 개수가 같은 행렬

     - 영행렬 : 모든 요소가 0인 행렬

     - 대각행렬 : 대각성분을 제외한 나머지가 모든 0인 행렬

     - 단위행렬 : 대각행렬+ 대각성분이 모두 1인 행렬

     - 삼각행렬 : 대각선 아래 or 위 요소가 모두 0인 행렬

     - 전치행렬 :  행렬의 행과 열을 바꾼 행렬

 

2) 행렬의 법칙

     - 교환법칙 : AB ≠ BA

     - 결합법칙 : (AB)C=A(BC)

     - 분배법칙 : A(B+C)=AB+AC

 

* 심화 *

- 표준화된 데이터의 분산 식 = Z'*Z/(n-1)

 

3) 공분산 행렬과 상관행렬

 - 상관행렬 식 = Z'*Z/(n-1)      ->분산을 구하는 행렬과 같지만 분산은 Z가 벡터이고 상관행렬은 Z가 행렬이다 

4) 역행렬

- AB=BA = I (B=A^ -1)

5) 좌표변환 행렬

x축대칭:  1  0             y축대칭 :  -1    0              원점 대칭 :      -1    0               회전:    cos  -sin

             0 -1                           0    1                                   0    -1                         sin   cos (시계방향 양수)

 

2.6 미분과 편미분

미분 : 어떤 점에서의 기울기

편미분 : 어떤 함수가 여러 가지 변수를 가지고 있을 때 각 변수에 대해서 미분을 하는 방식